Bevezetés

A tartalomból:

• Jobb 50$, mint 1000$?
• Mekkora legyen a kezdő bankrollod?

A PokerStrategy.com minden új tagja ingyen kap 50$ kezdőtőkét a PokerStrategy.com valamely partnertermébe. Szándékosan nevezzük 50$-os kezdőtőkének, és nem „ingyen bankrollnak”, vagy „befizetés nélküli bónusznak”, ahogy máshol szokás.

Ez a pénz számos tagunk pókerkarrierjének volt alaptőkéje. Felvetődik a kérdés, hogy tényleg elég-e 50$, vagy jobb, ha a lelkes játékos saját zsebből fizetett nagyobb összeggel kezdi pókerkarrierjét?

Ezt a kérdéskört járjuk körül ebben a cikkben, és megpróbáljuk megmutatni, hogy mi a különbség az 50$-ral és az 1000$-ral kezdő játékos között. Tényleg előnye van a nagyobb kezdő bankrollal induló játékosnak?

Vizsgálatunk eredménye minden játéktípusra alkalmazható, még akkor is, ha ebben a cikkben elsősorban a no limit hold’em nagyletétes stratégiáról van szó.

A modell

A pókerjátékosok abszolút pénzbeli sikere alapvetően két tényezőtől függ:

Tudás: Milyen jól játszik? Mekkora előnye van ellenfeleivel szemben az adott limiten? Ezt a fogalmat általános értelemben használjuk, magában foglalja például az asztalválasztást, vagy önmagunk menedzselésének pszichológiai szempontjait.

Limit: Milyen limiteken játszik? Minél magasabb szinten játszik egy játékos, ennek megfelelően annál magasabb a nyerési arányán alapuló abszolút nyeresége is, ha nyerési aránya pozitív.

Cikkünk következő fejezetében az eltérő kezdő bankrollal rendelkező játékosok közötti különbségek meghatározásához négy különböző játékostípust modellezünk. Elméleteket állítunk fel tudásuk fejlődéséről, a játszott limitekről és bankroll-menedzsmentjükről.

A játékosmodelleket ezután pókerkarrier-szimulációba helyezzük, hogy megnézzük, egymáshoz képest milyen eredményt érnek el.

A szimuláció előfeltételei

Tegyük fel, van négy különböző játékos: 'A', 'B', 'C' és 'D'

• Az 'A' játékos 50$-ral kezd, tehát tipikus PokerStrategy.com tag.
• A 'B', 'C' és 'D' játékosok mindannyian 1000$-ral kezdenek.

Mind a négy játékos ugyanazokkal a póker-előismeretekkel rendelkezik, az alapstratégiát ismerő kezdő játékos szintjén állnak.

Feltevések a tudás alakulásáról, és a limitekről

Szimulációnk elkészítéséhez mindegyik játékos pókertudásához hozzá kell rendelnünk egy bizonyos értéket. Ez az idő múlásával növekedni fog, mégpedig mind a négy játékosnál egyformán. A tudás alakulását négyzetgyök függvénnyel adjuk meg, először tehát erősen emelkedik, aztán egyre inkább ellaposodik.

Abból indulunk ki, hogy minden limiten egy bizonyos tudásszint szükséges, hogy valaki nullszaldós legyen (break even, azaz +-0, nincs se nyereség, se veszteség). Ha tehát valamely játékos tudása kisebb ennél az értéknél, veszteséget termel, ha tudása nagyobb ennél, nyereségre tesz szert. Így a nyereséges játék függ a tudásszinttől és a limittől is (a nagyobb tét nagyobb szorzót jelent). Ehhez a konkrét vizsgálathoz az NL2, NL5, NL10, NL25, NL50 és NL100 limiteket választottuk ki.

A tudásgörbével együtt a következő ábrát kapjuk:

Tudásfüggvény: a tudás feltételezett, idealizált növekedése az idő múlásával   Y-tengely: Tudás X-tengely: Idő

Az X-tengelyen párhuzamos vonalakkal ábrázoltuk az adott limit legyőzéséhez szükséges egyre nagyobb tudásszinteket.

Feltevések a bankroll-menedzsmentről

Az 'A' és 'B' játékos 20 beülős bankroll-menedzsment szerint játszik, mindig azon a legmagasabb limiten, ahol legalább 20 beülőnyi bankrollal rendelkeznek. Ha ennél kevesebb pénzük van, alacsonyabb szintre lépnek.

A 'C' és 'D' inkább elméleti játékosok. A 'C' játékos mindig azon a legmagasabb limiten játszik, ahol a nyerési aránya pozitív. A 'D' játékos mindig azon a limiten játszik, ahol legmagasabb a dollárban kifejezett nyerési aránya.

Összefoglalva:

Nincs ingadozás

Az ingadozás természetes részét képezi a pókerjátéknak, a cikk központi kérdésének megválaszolásánál azonban figyelmen kívül hagyjuk.

Hogyan működik a szimuláció?

Ez a fejezet főleg azoknak az érdeklődőknek szól, akik részletesen megismernék a szimuláció működését. A szimuláció több módon is megvalósítható, ebben az esetben a következőképpen jártunk el:

Pókertudásként a következő függvény került be: tudás(t) = t^(0.55)

Ez a függvény az adott játékos pókertudásának növekedését írja le. Nem pontosan a négyzetgyök függvényt választottuk, hogy a különböző limitek nullszaldós értékeinek metszéspontjait szemléletesebbé tegyük.

Alternatívaként megváltoztathattuk volna az egyes értékeket is, azonban a változtatásnak itt meglehetősen csekély befolyása van az eredményre.

A különböző limiteken a nullszaldó eléréséhez szükséges tudáshoz a következő értékeket használtuk:

Ezeket az értékeket kell elérnie a játékosnak ahhoz, hogy ne nyerjen, és ne is veszítsen. Ha alatta van, veszteséget termel, ha felette, nyereségre tesz szert.

A szimulációhoz olyan képletre van szükség, ami a bankroll bizonyos értékéhez megadja a játszott limitet. Itt jól elkülönül az 'A' és 'B' játékos a 'C' és 'D' játékostól.

A bankrollt most lépésenként újra és újra kiszámítjuk. Ez egységni lépésnagysággal így néz ki:

roll(0) = kezdő bankroll
roll(t+1) = roll(t) + limit( roll(t) ) * ( tudás(t) - tudás2( limit( roll(t) ) ) )

A limit( roll(t) ) értékét játékostípustól függően megkapjuk abból, hogy a játékos nyerő játékos-e, vagy a 20 beülős szabályból.

A tudás2(limit) megadja a nullszaldós játékhoz szükséges értéket. Tehát minden időegység után a bankroll a (tudás(t)-tudás2(limit)) nyerési arány és a limit szorzatával növekszik. Ugyanaz az elv, mint a pókerben.

Ezt a számítást tulajdonképpen folyamatossá is tehetjük azzal, hogy időben rövidebb léptéket használunk magasabb lépésszámmal. Ennek azonban lesz egy nem kívánt, és nem túl reális képet mutató mellékhatása.

Tegyük fel, hogy az egyik játékos - tudását és bankrollját tekintve - két limit között áll. Ha eléri a magasabb limithez szükséges bankrollt, azonnal vissza is lép, mert veszít egy keveset. Ezután pedig újra fellép, mert nyer valamennyit. Ha a számítás nagyon sok lépésből áll, és a játékos még nem győzi le az adott limitet, a nullszaldó-határon egyenes szakaszok alakulnak ki. Ez kevésbé valós képet ad, ezért választottunk durvább léptéket. Természetesen lehetségesek a kis lépések az eggyel magasabb vagy alacsonyabb limitre, ha a játékos veri a magasabb limitet.

Most már minden szükséges képletet elmagyaráztunk. Az ismételt lefuttatások segítségével rengeteg adatot kapunk, melyekkel grafikusan ábrázolhatjuk a különböző kezdő bankrollokat, lépésnagyságokat és lépésszámokat.

Az abszolút eredmények

Hagyjuk tehát egy ideig pókerezni a négy feltételezett játékostípust, hogy tudásfüggvényüknek megfelelően fejleszék pókertudásukat, bankroll-menedzsmentjüknek megfelelően pedig feljebb lépjenek a limiteken. Hogyan néz ki bankrolljuk egy bizonyos idő elteltével?

Először nézzük meg az 'A' játékos bankrolljának növekedését, aki 50$-ral indult.

Az 'A' játékos bankrollja   Y-tengely: Bankroll dollárban X-tengely: Idő

Ilyen – vagy ehhez hasonló – kép várható mindaddig, amíg az ingadozást figyelmen kívül hagyjuk. Az időegységenkénti nyereség, a görbe meredeksége növekszik, egyrészt a növekvő tudás miatt, másrészt pedig a magasabban limitek miatt. Így a meredekség idővel egyre tovább nő. Térjünk rá most a 'B' játékos eredményére.

A 'B' játékos bankrollja   Y-tengely: Bankroll dollárban X-tengely: Idő

Ahogyan az a tudásgörbe alapján várható volt, a játékos először elveszíti pénze egy részét, mert olyan limiten kezd játszani, ami meghaladja aktuális pókertudását.

Míg az 'A' játékos csak rövid ideig vesztő, és attól a ponttól, amikor legyőzi az NL2 limitet, mindig nyerő játékos, addig a 'B' játékos először NL50-ről lekerül NL25-re, míg a tudása meg nem nő annyira, hogy legyőzi ezt a limitet.

Csak ettől a ponttól kezdve nyer a 'B' játékos is pénzt. A görbéje ezután már hasonló karakterisztikát mutat, mint az 'A' játékosé. Ez logikus, hiszen mindketten ugyanazt a tudás, és ugyanazt a bankroll menedzsmentet használják.

Nézzük meg a 'C' játékos eredményeit is. Mindig azon a legmagasabb limiten játszik, amit le tud győzni (vagy a legkisebb elérhetőn). A grafikonja tehát így néz ki:

A 'C' játékos bankrollja   Y-tengely: Bankroll dollárban X-tengely: Idő

A 'B' játékossal ellentétben nem veszít nagyobb összegeket, de nem képes nála lényegesen jobb eredményt elérni. Feltűnik egy nyilvánvaló hiba is, a nyerési aránya egy időegységet tekintve megközelítőleg nulla, hiszen azonnal feljebb lép, amint nullszaldós eredményt ér el. Még időre van szüksége ahhoz, hogy a magasabb limiten előnyre, és ezzel nyereségre tegyen szert.

Végezetül nézzük meg az ideális játékost, a 'D'-t. Mindig a lehető legnagyobb nyerési aránnyal játszik, tehát minden ellenfelénél jobban fog teljesíteni. Az a kérdés, hogy mennyire teljesít jól. A válasz:

A 'D' játékos bankrollja   Y-tengely: Bankroll dollárban X-tengely: Idő

A görbe jelentősen kevesebb törést mutat, mert lépései a limiteken soha nem járnak a nyerési arány nagy változásával, mivel optimális pillanatban lép feljebb. Eredménye egyértelműen jobb a többiekénél.

Különösen érdekes a sok kezdőtőkével rendelkező 'B', 'C' és 'D' játékostípus, és az 50$-os kezdőtőkével rendelkező játékos összehasonlítása.

Az eredmények összehasonlítása

Mivel a játékosoknak eltérő kezdőtőke állt rendelkezésükre, ezért a bankrollok méretének összehasonlítása nem teljesen pontosan tükrözi az egyes játékosok pénzügyi eredményességét. Hogy teljesítenek hát az egyes játékosok a többihez viszonyítva pókerkarrierjük bizonyos pontjain?

'A' és 'B' játékosok

Hasonlítsuk össze először az 'A' és a 'B' játékost egymással. Az 'A' játékos 50$-ral indult, míg a 'B' játékos 1000$-ral kezdett. Mindketten a 20 beülős bankroll-menedzsmentet követték.

Az ábrán minden időpontban kivontuk az 'A' játékos bankrollját a 'B' játékos bankrolljából. A grafikon tehát a 950$-os ($1000 - $50) értéknél indul.

'Az 'A' és 'B' játékos bankroll-eltérése   Y-tengely: Az 'A' és 'B' játékos bankroll-eltérése X-tengely: Idő

Mivel a B játékos a magas limiten történő kezdéskor sok pénzt veszít, a két érték gyorsan közelít egymáshoz, míg a különbség csupán 300$ lesz. Amikor a B játékos már annyira növelni tudta tudását, hogy nyereségre tett szert, ismét megnő a különbség a magasabb limitből adódó magasabb nyereség miatt.

A különbség a két bankroll között végül 700$-nál fix értékre áll be. Ebben az egyszerűsített modellben ez az érték végig megmarad, mert mindkét játékos a létező legmagasabb limiten, időegységenként ugyanazzal a nyerési aránnyal játszik tovább.

Megállapíthatjuk tehát, hogy a 'B' játékos, akinek karrierje megkezdésekor 950$-ral több pénze volt az 'A' játékossal szemben, nem volt képes ebből előnyt kovácsolni. Ellenkezőleg! Ha csak 50$-ral játszott volna az 1000$-jából, akkor most további 150$-ral több pénze lenne. Természetesen ennek az az oka, hogy túl magas limiten játszott, ezért az elején nagyon sokat veszített.

'A' és 'C' játékosok

Hasonlítsuk most össze a 'C' játékost az 'A' játékossal. Jóllehet a 'C' inkább csak elméleti játékostípus, mindenesetre elkerülte a nagyobb összegek elveszítését.

Itt lényegesen kevesebb ingadozást lehet felfedezni, mint az első összehasonlításban. Valamivel több mint a fele idő után 'C' előnyre tesz szert, mert az 'A' játékos már legyőzi az NL25 limitet, de a túl csekély bankroll miatt nem tud ott játszani.

Amikor az 'A' játékos feljebb lép, az előny ismét viszonylagossá válik. A vége felé a különbség nagyjából még 900$. Tehát itt is az 'A' játékos teljesít jobban, annak ellenére, hogy csak 50$-ral, tehát a másikhoz viszonyítva 950$-ral kisebb összeggel indult.

Az 'A' és 'C' játékos bankroll-eltérése   Y-tengely: Az 'A' és 'C' játékos bankroll-eltérése X-tengely: Idő

'A' és 'D' játékosok

Végül hasonlítsuk össze 'A'-t a 'D' játékossal, aki 1000$-ral indult, és mindig azon a limiten játszik, ahol a legmagasabb nyereségre tesz szert. Ezúttal így fest az ábránk:

Az 'A' és 'D' játékos bankroll-eltérése   Y-tengely: Az 'A' és 'C' játékos bankroll-eltérése X-tengely: Idő

A 'D' játékos idővel 1500$ körüli előnyre tegyen szert, ami a kezdő helyzethez képest 550$-os nyereségnek felel meg. A D játékos kihasználja azt az előnyt, hogy a nagyobb kezdő bankrollja miatt magasabb limitre léphet, amint megvan hozzá a megfelelő tudása. Az 'A' játékosnak viszont először meg kell szereznie az ehhez szükséges bankrollt az alacsonyabb limiteken.

Tehát ez azt jelenti, hogy a pókerkarrier optimális elkezdéséhez be kell fizetni 1000$-t?

Az eredmények értékelése

Néhány tényezőt még figyelembe kell venni. A 'B' és 'C' játékos a maguk módján „buták”. A 'B' játékos a rossz bankroll-menedzsmentje miatt vállalja a kockázatot, hogy elveszíti pénzének nagy részét, ahelyett, hogy visszalépne, ha szükséges.

A 'C' játékos mindig, amikor feljebb lép egy limitről, ahol nyerő volt, feladja dollárban meghatározott nyereségének egy részét. Ezt az a tény mutatja jól, hogy a bankrollja alakulása közben több ponton is nulla az emelkedése (párhuzamos az időtengellyel). Ha alacsonyabb limiten játszott volna tovább, akkor nyilvánvalóan többet nyert volna.

A megközelítőleg reális 'B' játékos, és az elméleti 'C' játékos a nagyobb kezdőtőke ellenére is rosszabbul teljesítenek az 50$-ral induló játékoshoz képest. Egyedül az optimális játékosnak tekinthető 'D' képes előnyt kovácsolni nagyobb bankrolljából. Ez egyértelműen kiderült vizsgálatunkból, azonban a különbség a szimuláció végén még mindig csak az 'A' játékos bankrolljának 20%-a.

Ebből az eszmefuttatásból az következik, hogy a megadott feltételek mellett egy kezdőnek semmilyen előnye nem származik abból, ha nagy tőkével indul. Csak akkor tehetne szert valaki csekély 20%-os előnyre 2000%-kal nagyobb kezdőtőke mellett, ha képes lenne tökéletesen felmérni dollárban meghatározott nyerési arányát a különböző limiteken.

Ennek oka, hogy a kevés kezdőtőkével rendelkező játékosnak elég ritkán lenne magas nyerési aránya olyan limiten, amihez hiányzik a bankrollja.

A rendszer meglehetősen optimálisan szabályozza magát. A nagyobb bankrollnak azonban van egy, a modellben figyelmen kívül hagyott előnye: ki tudná egyenlíteni az ingadozásokat. A nagyobb bankrollal kezdő játékos akkor jár el helyesen, ha a legalacsonyabb limiteken kezd, és a saját megítélése alapján meghatározott időközönként lép feljebb a limiteken.

Ezáltal kiegyenlíthetné az 50$-ral indulók bankrolljának ingadozását. Ha képes saját tudását megfelelően értékelni, valódi előnyt szerezhetne nagyobb kezdőtőkéjéből.

Ez az előny azonban nem szükségszerű a sikeres pókerjátékhoz, és hamar eltörpül a jelentősége, hisz a PokerStrategy.com 50$-os kezdőtőkét ad, míg az 1000$-t saját zsebből kellene fizetned. Alaposan meg kell gondolnod, hogy be akarod-e fizetni ezt az összeget pusztán az ingadozások csillapítására.

Összefoglalás

Meglehetősen optimálisnak bizonyul tehát az 50$-ral való kezdés. Jelentősen nagyobb kezdőtőke birtokában bizonyos körülmények között kissé jobb eredményt érhetünk el, viszont kérdéses, hogy ez az ideális eset mennyiben reprodukálható a valóságban.

A 2000%-kal magasabb kezdő bankroll mellett jelentkező csupán 20% viszonylagos előny meglehetősen csekély. 1000$-nál kisebb – de 50$-nál nagyobb – kezdő bankroll esetén ez az előny természetesen kevesebb lesz, mint 20%. Ilyenkor tehát a jelentősen nagyobb kezdőtőkéből csupán nagyon csekély előny adódik.

A magasabb bankroll egyetlen, ebben a modellben mennyiségileg nem kifejezhető előnye az ingadozások elkerülése. Ha ezzel az előnnyel szembeállítjuk az ehhez szükséges jelentősen nagyobb befektetést, és a vele járó nagyobb kockázatot, valamint további olyan kockázatokat, mint tudásunk helytelen felmérése, vagy a túl magas limiten történő játék (lásd a 'B' játékostípust), a kezdő pókerjátékosok számára végül az 50$-os, vagy az ingadozás csökkentésére a 100$-os kezdő bankrollt tekinthetjük optimálisnak.

Legvégül nézzük meg ismét a négy játékos nyereségeit egyetlen grafikonban összefoglalva.

• Sárga: 'A' játékos - 50$ kezdő bankroll, 20 beülős bankroll-menedzsment.
• Zöld: 'B' játékos - 1000$ kezdő bankroll, 20 beülős bankroll-menedzsment.
• Piros: 'C' játékos - 1000$ kezdő bankroll, azon a limiten játszik, ahol legalább nullszaldós.
• Kék: 'D' játékos - 1000$ kezdő bankroll, azon a limiten játszik, ahol a legtöbb pénzre tesz szert.

A négy játékos nyereményeinek alakulása   Y-tengely: Nyeremény dollárban X-tengely: Idő